指数分布とは何ですか？
指数分布とは、特定のイベントが発生する前に人が待つ必要のある期間をモデル化するために実際に使用される連続的で一定の確率分布を指します。この分布は、代わりに別個の幾何分布の連続的な対応物です。
指数分布式
連続確率変数x（スケールパラメーターλ> 0）は、その確率密度関数が、スケールパラメーターをマイナススケールパラメーターの指数関数に乗算し、または以上のすべてのxのxを乗算することによって表現できる場合にのみ、指数分布を持つと言われます。ゼロに等しい場合、それ以外の場合、確率密度関数はゼロに等しくなります。
数学的には、確率密度関数は次のように表されます。
平均が1 /λに等しく、分散が1 /λ2に等しいように。
指数分布の計算（ステップバイステップ）
- ステップ1：まず、検討中のイベントが継続的で独立していて、ほぼ一定の割合で発生するかどうかを確認します。実際のイベントでは、変数がゼロ以上であることを確認します。
- ステップ2：次に、常に平均の逆数であるスケールパラメーターの値を決定します。
- λ= 1 /平均
- ステップ3：次に、スケールパラメーターλと変数xを乗算し、その積の指数関数にマイナス1を掛けたもの、つまりe–λ * xを計算します。
- ステップ4：最後に、確率密度関数は、指数関数とスケールパラメーターを乗算することによって計算されます。
上記の式がゼロ以上のすべてのxに当てはまる場合、xは指数分布です。
例
この指数分布Excelテンプレートはここからダウンロードできます–指数分布Excelテンプレート
例を見てみましょう。xは、オフィスのペオンがマネージャーのデスクから店員のデスクに配達するのにかかる時間（分単位）です。かかった時間の関数は、平均時間が5分に等しい指数分布であると想定されます。
時間が測定されるため、xが連続確率変数であると仮定します。
平均、μ= 5分
したがって、スケールパラメータ、λ= 1 /μ= 1/5 = 0.20
したがって、指数分布確率関数は次のように導出できます。
f（x）= 0.20 e– 0.20 * x
ここで、xのさまざまな値で確率関数を計算して、分布曲線を導き出します。
x = 0の場合
x = 0の指数分布確率関数は次のようになります。
同様に、x = 1からx = 30の指数分布確率関数を計算します
- x = 0の場合、f（0）= 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- x = 1の場合、f（1）= 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- x = 2の場合、f（2）= 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- x = 3の場合、f（3）= 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- x = 4の場合、f（4）= 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- x = 5の場合、f（5）= 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- x = 6の場合、f（6）= 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- x = 7の場合、f（7）= 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- x = 8の場合、f（8）= 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- x = 9の場合、f（9）= 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- x = 10の場合、f（10）= 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- x = 11の場合、f（11）= 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- x = 12の場合、f（12）= 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- x = 13の場合、f（13）= 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- x = 14の場合、f（14）= 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- x = 15の場合、f（15）= 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- x = 16の場合、f（16）= 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- x = 17の場合、f（17）= 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- x = 18の場合、f（18）= 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- x = 19の場合、f（19）= 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- x = 20の場合、f（20）= 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- x = 21の場合、f（21）= 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- x = 22の場合、f（22）= 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- x = 23の場合、f（23）= 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- x = 24の場合、f（24）= 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- x = 25の場合、f（25）= 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- x = 26の場合、f（26）= 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- x = 27の場合、f（27）= 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- x = 28の場合、f（28）= 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- x = 29の場合、f（29）= 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- x = 30の場合、f（30）= 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
次のように分布曲線を導き出しました。
関連性と使用
実世界のシナリオでは一定のレートの仮定が満たされることはめったにありませんが、レートがほぼ一定になるように時間間隔を選択すると、指数分布を適切な近似モデルとして使用できます。物理学、水文学などの分野で他の多くのアプリケーションがあります。
統計および確率論では、指数分布の表現は、一定の平均速度で独立して連続的に発生する2つの連続するイベント間の時間を定義するために使用される確率分布を指します。これは、広く使用されている連続分布の1つであり、Excelのポアソン分布と厳密に関連しています。