統計でZ検定を計算する式
統計量のZ検定は、標準偏差が利用可能でサンプルが大きい場合に、計算された2つのサンプルの平均が異なるかどうかを判断するために使用される仮説検定を指します。
Z =（x –μ）/ ơ
ここで、x =母集団からの任意の値
- μ=母平均
- ơ=母標準偏差
サンプルの場合、値のz検定統計の式は、x値からサンプルの平均を差し引いて計算され、その結果がサンプルの標準偏差で除算されます。数学的には、次のように表されます。
Z =（x – x_mean ）/ sどこ
- x =サンプルからの任意の値
- x_mean =サンプル平均
- s =サンプルの標準偏差
Z検定の計算（ステップバイステップ）
母集団のz検定統計の式は、次の手順を使用して導出されます。
- ステップ1：まず、母平均で取得された観測値に基づいて母平均と母標準偏差を計算します。各観測値はxiで表されます。母集団内の観測値の総数はNで表されます。
母平均、
母標準偏差、
- ステップ2：最後に、変数から母平均を差し引いてz検定統計を計算し、その結果を以下に示すように母標準偏差で除算します。
Z =（x –μ）/ ơ
サンプルのz検定統計の式は、次の手順を使用して導出されます。
- ステップ1：まず、上記と同じようにサンプル平均とサンプル標準偏差を計算します。ここで、サンプル内の観測値の総数は、n <Nとなるようにnで表されます。
標本平均、
サンプル標準偏差、
- ステップ2：最後に、x値からサンプル平均を差し引いてz検定統計を計算し、その結果を以下に示すようにサンプル標準偏差で除算します。
Z =（x – x_mean ）/ s
例
このZテストフォーミュラExcelテンプレートはここからダウンロードできます–ZテストフォーミュラExcelテンプレート例1
クラステストに出頭した学校の生徒の母集団を想定します。テストの平均スコアは75で、標準偏差は15です。テストで90を獲得したDavidのz検定スコアを決定します。
与えられた、
- 母平均、μ= 75
- 母標準偏差、ơ= 15
したがって、z検定統計は次のように計算できます。
Z =（90 – 75）/ 15
Z検定統計は次のようになります–
- Z = 1
したがって、Davidのテストスコアは、母集団の平均スコアを1標準偏差上回っています。つまり、zスコアの表によると、学生の84.13％はDavidよりもスコアが低くなっています。
例2
サンプルチームの一部として選ばれた30人の学生の例を見て、1週間に何本の鉛筆が使用されているかを調査します。与えられた応答に基づいて、の3番目の学生のz検定スコアを決定します：3、2、5、6、4、7、4、3、3、8、3、1、3、6、5、2、4 、3、6、4、5、2、2、4、4、2、8、3、6、7。
与えられた、
- x = 5は、3番目の生徒の応答なので、5です。
- サンプルサイズ、n = 30
サンプル平均、=（3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7）/ 30
平均= 4.17
これで、サンプルの標準偏差は上記の式を使用して計算できます。
ơ= 1.90
したがって、3番目の学生のz検定スコアは、次のように計算できます。
Z =（x – x）/ s
- Z =（5 –17）/ 1.90
- Z = 0.44
したがって、3番目の学生の使用量はサンプルの平均使用量の0.44倍の標準偏差です。つまり、zスコア表によると、67％の学生が3番目の学生よりも少ない鉛筆を使用しています。
例3
サンプルチームの一部として選ばれた30人の学生の例を見て、1週間に何本の鉛筆が使用されているかを調査します。与えられた応答に基づいて、の3番目の学生のz検定スコアを決定します：3、2、5、6、4、7、4、3、3、8、3、1、3、6、5、2、4 、3、6、4、5、2、2、4、4、2、8、3、6、7。
以下は、Z検定統計の計算のためのデータです。
Z検定統計の詳細な計算については、以下のExcelシートを参照してください。
関連性と用途
z検定統計量の概念を理解することは非常に重要です。これは、検定統計量が関連する帰無仮説の下で正規分布に従うかどうかが議論の余地がある場合に通常使用されるためです。ただし、z検定は、サンプルサイズが30より大きい場合にのみ使用され、それ以外の場合はt検定が使用されることに注意してください。